Question

【题目】设数列的前项的和为且数列满足且对任意正整数都有成等比数列.

（1）求数列的通项公式.

（2）证明数列为等差数列.

（3）令问是否存在正整数使得成等比数列？若存在，求出的值，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）见证明；（3）见证明

【解析】

（1）利用项和公式求数列的通项公式.(2)由题得，，即，再求出，再利用等差数列的定义证明数列为等差数列.(3) 先求出，所以，根据成等比数列得，即，再求出m，k的值.

（1）因为数列的前项的和，

所以当时，；

当且时，，

当时，上式也成立，

所以数列的通项公式为.

（2）证明：因为对任意正整数都有成等比数列，

所以，即，

所以，

两式相除得，对任意正整数都有，

即，

当为奇数时，，所以，

当为偶数时，，而，所以，

所以.

所以，

所以数列为等差数列.

(3)因为，

所以，

因此存在正整数，使得成等比数列

，

因为都是正整数，则，

即时，对应的.

所以存在或或使得成等比数列.