Question

已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R．
（1）若α=60°，R=10cm，求扇形的弧所在的弓形面积；
（2）若扇形的周长是一定值c（c＞0），当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？

Answer 1

分析：（1）直接求出扇形的面积，求出三角形的面积，然后求出扇形的弧所在的弓形面积；
（2）法一：通过周长关系式，化简扇形的面积公式，得到关于α的表达式，利用基本不等式解答即可．
法二：通过周长关系式，化简扇形的面积公式，得到关于弧长l的表达式，利用二次函数的最值求出最大值，以及圆心角解答即可．

解答：解：（1）设弧长为l，弓形面积为S_弓，
∵α=60°=

π

3

，R=10，∴l=

10

3

π（cm），
S_弓=S_扇-S_△=

1

2

×

10

3

π×10-

1

2

×10²×sin60°
=50（

π

3

-

3

2

）（cm²）．

（2）法一：∵扇形周长c=2R+l=2R+αR，
∴R=

c

2+α

，
∴S_扇=

1

2

α•R²=

1

2

α（

c

2+α

）²=

c2

2

α•

1

4+4α+α2

=

c2

2

•

1

4+α+ 4 α

≤

c2

16

．
∴当且仅当α=

4

α

，即α=2（α=-2舍去）时，扇形面积有最大值

c2

16

．

法二：由已知2R+l=c，∴R=

c-l

2

（l＜c），
∴S=

1

2

Rl=

1

2

•

c-l

2

•l=

1

4

（cl-l²）
=-

1

4

（l-

c

2

）²+

c2

16

，
∴当l=

c

2

时，S_max=

c2

16

，此时α=

l

R

=

c 2

c- c 2 2

=2，
∴当扇形圆心角为2弧度时，扇形面积有最大值

c2

16

．

点评：本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，基本不等式以及二次函数的应用，利用基本不等式求最值需要满足“正、定、等”的条件；二次函数注意x的范围；考查计算能力．