Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）求证：f（x）+f（1﹣x）= ；
（2）设数列{an}满足an=f（0）+f（ ）+f（ ）+…+f（ ）+f（1），求an；
（3）设数列{an}的前项n和为Sn ， 若Sn≥λan（n∈N*）恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵ ，

∴

（2）解：由（1）知 ，

故 ，

，

又 ，

两式相加得 ，

∴

（3）解：由（2）知 ，∴ ，

∴数列{an}是一个等差数列，

∴ ，

，

又∵ 在n∈N*上为递增的函数，∴当n=1时 ，

则 恒成立，实数λ的取值范围为（﹣∞，1]

【解析】（ 1）由于 ，计算f（x）+f（1﹣x）即可证明．（2）由（1）知 ，利用“倒序相加”即可得出．（3）由（2）知 ，可得 ，利用等差数列的求和公式可得Sn ， 代入Sn≥λan（n∈N*）化简，利用数列的单调性即可得出．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)．