Question

如图，在直四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA₁＝2，E，E₁分别是棱AD，AA₁的中点．

(Ⅰ)设F是棱AB的中点，证明：直线EE₁∥平面FCC₁

(Ⅱ)证明：平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)证法一：取A1B1的中点为F1， 　　连结FF1，C1F1， 　　由于FF1∥BB1∥CC1， 　　所以F1∈平面FCC1， 　　因为：平面FCC1即为平面C1CFF1， 　　连结A1D，F1C， 　　由于A1F1D1C1CD， 　　所以：四边形A1DCF1为平行四边形， 　　因为：A1D∥F1C． 　　又EE1∥A1D， 　　得EE1∥F1C， 　　而EE1平面FCC1，F1C平面FCC1， 故EE1∥平面FCC1． 　　证法二：因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD， 　　所以CDAF， 　　因此四边形AFCD为平行四边形， 　　所以AD∥FC． 　　又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC平面FCC1，CC1平面FCC 　　所以平面ADD1A1∥平面FCC1， 　　又EE1平面ADD1A1， 　　所以EE1∥平面FCC1． 　　(Ⅱ)证明：连结AC，连△FBC中，FC＝BC＝FB， 　　又F为AB的中点， 　　所以AF＝FC＝FB， 　　因此∠ACB＝90°， 　　即AC⊥BC． 　　又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C， 　　所以AC⊥平面BB1C1C， 　　而AC平面D1AC， 　　故平面D1AC⊥平面BB1C1C．