Question

已知函数
（1）求证：函数f（x）是偶函数；
（2）判断并证明函数f（x）在区间（0，2]上的单调性；
（3）根据以上结论猜测f（x）在[-2，0）上的单调性，不需要证明．

Answer 1

解：（1）当x＞0时，-x＜0，则=，
∴f（x）=f（-x）．
当x＜0时，-x＞0，则=，
∴f（x）=f（-x）．
综上所述，对于x≠0，都有f（x）=f（-x），∴函数f（x）是偶函数．
（2）当x＞0时，，
设x₂＞x₁＞0，则．
当2≥x₂＞x₁＞0时，f（x₂）-f（x₁）＜0，∴函数f（x）在（0，2]上是减函数．
（3）根据偶函数的图象的对称性可得，函数为增函数．
分析：（1）当x＞0时，-x＜0，证明f（x）=f（-x）；当x＜0时，-x＞0，证明f（x）=f（-x），可得对于x≠0，
都有f（x）=f（-x），故 函数f（x）是偶函数．
（2）设x₂＞x₁＞0，则，当2≥x₂＞x₁＞0时，f（x₂）-f（x₁）＜0，
故函数f（x）在（0，2]上是减函数．
（3）根据偶函数的图象的对称性可得，函数为增函数．
点评：本题考查证明函数的奇偶性的方法，以及证明函数的单调性的证明方法，偶函数的图象的对称性，明函数的奇偶性
是解题的难点．