Question

 

    如图1，在正三角形ABC中，AB=3，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，AE=CF=CP=1。将沿折起到的位置，使平面与平面BCFE垂直，连结A₁B、A₁P（如图2）。

    （1）求证：PF//平面A₁EB；

    （2）求证：平面平面A₁EB；

    （3）求四棱锥A₁—BPFE的体积。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

（1）证明：∵底面，且底面， ∴   …1分

由，可得           …………………………2分

又 ，∴平面             …………………………3分

注意到平面， ∴      …………………………4分

,为中点，∴    ………………………5分

 ， ∴平面    ………………6分

（2）取的中点，的中点，连接，

    ∵为中点，，∴.       ……………7分

    ∵平面平面， ∴平面.  ………8分

   同理可证：平面. 

又， ∴平面平面.       …………9分

  ∵平面，∴平面.    …………10分

（3）由（1）可知平面

又由已知可得.

               …………12分

     ∴

   所以三棱锥的体积为.            …………14分