题目内容

椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距为2，且过点(
2
，
6
2
)．则椭圆E的方程为
 
．
分析：根据椭圆的标准方程与基本概念，建立关于a、b的方程组，解得a2=4且b2=3，可得椭圆E的方程．
解答：解：∵椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距为2，
∴2c=2，得c=
a2-b2
=1…①，
又∵点(
2
，
6
2
)在椭圆E上，∴
2
a2
+
3
2
b2
=1…②．
由①②联解，可得a2=4，b2=3，所以椭圆E的方程为
x2
4
+
y2
3
=1．
故答案为：
x2
4
+
y2
3
=1
点评：本题给出椭圆满足的条件，求它的方程．着重考查了椭圆的标准方程与基本概念等知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
1
2
，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是左、右焦点，过F1的直线与圆（x+c）2+（y+2）2=1相切，且与椭圆E交于A、B两点．
（1）当AB=
16
5
时，求椭圆E的方程；
（2）若直线AB的倾斜角为锐角，当c变化时，求证：AB的中点在一定直线上．
（2013•镇江二模）如图，设A，B分别为椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右顶点和上顶点，过原点O作直线交线段AB于点M（异于点A，B），交椭圆于C，D两点（点C在第一象限内），△ABC和△ABD的面积分别为S1与S2．
（1）若M是线段AB的中点，直线OM的方程为y=
1
3
x，求椭圆的离心率；
（2）当点M在线段AB上运动时，求
S1
S2
的最大值．
（2013•崇明县一模）如图，椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1，右焦点为F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，△ABF2的周长为8，且△AF1F2面积最大时，△AF1F2为正三角形．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x=4相交于点Q．试探究：①以PQ为直径的圆与x轴的位置关系？
②在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由．
（2013•成都二模）巳知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)（a＞b＞0）以抛物线y2=8x的焦点为顶点，且离心率为
1
2

（I）求椭圆E的方程
（II）若F为椭圆E的左焦点，O为坐标原点，直线l：y=kx+m与椭圆E相交于A、B 两点，与直线x=-4相交于Q点，P是椭圆E上一点且满足
OP
=
OA
+
OB
，证明
OP
.
FQ
为定值并求出该值．
如图，已知椭圆E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
3
2
，E的左顶点为A、上顶点为B，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为4+2
3
．
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（I）求椭圆的方程；
（II）设C，D是椭圆E上两不同点，CD∥AB，直线CD与x轴、y轴分别交于M，N两点，且
MC
=λ
CN
，
MD
=μ
DN
，求λ+μ的取值范围．

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