Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（x，1）
（1）若$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，求x的值．
（2）若＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞为锐角，求x的范围；
（3）当（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）时，求x的值．

Answer 1

分析 （1）利用斜率共线，直接求解即可．
（2）利用斜率的数量积列出不等式，即可求出结果．
（3）利用斜率的垂直条件，列出方程求解即可．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（x，1），$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$，
可得2x=1，
∴x=$\frac{1}{2}$
（2）若＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$＞为锐角，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$＞0且$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$不同向．
$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=x+2＞0，∴x＞-2，当x=$\frac{1}{2}$时，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$同向．
∴x＞-2且x≠$\frac{1}{2}$．
（3）$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$=（1+2x，4），2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=（2-x，3），（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow{b}$）⊥（2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$），
可得（2x+1）（2-x）+3×4=0．
即-2x²+3x+14=0．      
解得：x=$\frac{7}{2}$或x=-2．

点评 本题考查斜率的数量积的应用，斜率共线以及斜率垂直条件的应用，考查计算能力．