Question

一个三棱锥的三视图、直观图如图．

（1）求三棱锥的体积；

（2）求点C到平面SAB的距离；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

解： （1）由正视图、俯视图知；

由正视图、侧视图知，点B在平面SAC上的正投影为AC的中点D，则，

平面，；

由俯视图、侧视图知，点S在平面ABC上的正投影为DC的中点O，

则，平面，．如图．

（1）三棱锥的体积．

解法一：

以O为原点，OA为轴，过O且平行于BD的直线为轴，OS为轴，建立如图空间直角坐标系，可求，，

设是平面SAB的一个法向量，则

，取，

（2）可知，设点C到平面SAB的距离为，

则．

（3）可知是平面ABC一个法向量，故，

    二面角的余弦值为．

解法二：

（2）可求，，

，

△SAB的面积，

设点C到平面SAB的距离为，

由三棱锥的体积，

得．

（3）作于H，作交AB于E，则，

连接SE，因OE是SE在底面ABC内的射影，而，故，

为二面角的平面角．

△ABC中，易求，

由△ABC的面积，，，

△AEO与△AHC相似，相似比为AO：AC=3：4，故，

中，，

故，二面角的余弦值为．