Question

已知x＞0,y＞0,

用分析法证明(x²+y²)＞(x³+y³).

Answer 1

证明:要证明(x²+y²)＞(x³+y³),只需证明(x²+y²)³＞(x³+y³)²,即证x⁶+3x⁴y²+3x²y⁴+y⁶＞x⁶+2x³y³+y⁶,即证3x⁴y²+3y⁴x²＞2x³y³.

又∵x＞0,y＞0,∴x²y²＞0,即证3x²+3y²＞2xy.

而3x²+3y²＞x²+y²≥2xy成立,

∴(x²+y²)＞(x³+y³).