Question

利用求导可揭示一些很有趣的现象.如①圆面积S(R)=πR²的导数S′(R)=l(R)=2πR即为圆周长公式；②球体积V（R）=πR³的导数V′(R)=S(R)=4πR²即为球面面积公式.请不妨试试下列.

（1）对sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ两边同时对α求导.

（2）对（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³两边同时对a求导.

Answer 1

解：（1）∵sin(α+β)=sinαcosβ+cosα·sinβ,

∴［sin(α+β)′］|_α=(sinαcosβ+cosαsinβ)′|_α

=cosαcosβ-sinαsinβ.

即cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.

（2）∵(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³,

∴［(a+b)³］′|_a=(a³+3a²b+3ab²+b³)′|_a

即3(a+b)²=3a²+6ab+3b²,

即(a+b)²=a²+2ab+b².