Question

如图，在三棱柱中，已知学，，，，，网，侧面，

（1）求直线C₁B与底面ABC所成角正切值；学科网

（2）在棱（不包含端点上确定一点的位置,学科网

使得(要求说明理由).学科网

（3）在（2）的条件下,若，求二面角的大小.学科网

Answer 1

（1）直线与底面所成角正切值为2 （2）E为中点  （3）45°

解析:

（1）在直三棱柱中， 在平面上的射影为.

       为直线与底面所成角.    ………

       ，

       即直线与底面所成角正切值为2.        ……

 （2）当E为中点时，.

 

     ，即      …………

     又，

      ，，  ……

（3）取的中点，的中点，则∥，且，

连结，设，连结，

则∥，且

为二面角的平面角.   ………

，    

 ∴二面角的大小为45°       ……… 

另解：如图，以B为原点建立空间直角坐标系，则，，

直三棱柱中，平面的法向量，

又，

设，

则    ……… 

    

即直线与底面所成角正切值为2.    …………

（2）设，则，

，∴        …………    

 ，即           ………

（3）∵，则，

设平面的法向量，

则，取   ……

∵，∴，又

∴平面的法向量，∴,

∴二面角的大小为45°       …………