Question

如图，在正三棱锥P—ABC中，M、N分别是侧棱PB、PC的中点，若截面AMN垂直于侧面PBC，则此正三棱锥的侧面积与底面积的比为(　　)

A.1∶2                  B.2∶3                  C.3∶2                  D.6∶1

Answer 1

思路解析：取BC的中点E，连结AE、PE，并且PE∩MN=F，连结AF，则AE⊥BC，PE⊥BC.从而∠AEP为二面角P-BC-A的平面角，令∠AEP=θ.

∵M、N分别为PB和PC的中点，∴MN∥BC，且F是PE的中点.

又BC⊥PE，∴MN⊥PE.

∵平面AMN⊥平面PBC，MN为交线，

∴PE⊥平面AMN.

又AF平面AMN，∴AF⊥PE.

而F是PE的中点，∴△PAE是等腰三角形，且AP=AE.

令AB=2a,则PB=PA=AE=AB=a.

在Rt△PBE中，∵PB=a，BE=BC=a，

∴PE=

在Rt△AFE中，cosθ=cos∠AEP=

又S_侧=

因此正三棱锥的侧面积与底面积的比为∶1.

答案：D