Question

3．己知函数f（x）是定义在R上的偶函数，f（x+1）为奇函数，f（0）=0，当x∈（0，1]时，f（x）=log₂x，则在区间（8，9）内满足方f（x）程f（x）+2=f（$\frac{1}{2}$）的实数x为 （　　）

• A． $\frac{17}{2}$
• B． $\frac{67}{8}$
• C． $\frac{33}{4}$
• D． $\frac{65}{8}$

Answer 1

分析 由f（x+1）为奇函数，可得f（x）=-f（2-x）．由f（x）为偶函数可得f（x）=f（x+4），故 f（x）是以4为周期的函数．当8＜x≤9时，求得f（x）=f（x-8）=log₂（x-8）．由log₂（x-8）+2=-1得x的值．

解答 解：∵f（x+1）为奇函数，即f（x+1）=-f（-x+1），即f（x）=-f（2-x）．
当x∈（1，2）时，2-x∈（0，1），∴f（x）=-f（2-x）=-log₂（2-x）．
又f（x）为偶函数，即f（x）=f（-x），于是f（-x）=-f（-x+2），
即f（x）=-f（x+2）=f（x+4），故 f（x）是以4为周期的函数．
∵f（1）=0，∴当8＜x≤9时，0＜x-8≤1，f（x）=f（x-8）=log₂（x-8）．
由f（$\frac{1}{2}$）=-1，f（x）+2=f（$\frac{1}{2}$）可化为log₂（x-8）+2=-1，得x=$\frac{65}{8}$．
故选：D．

点评 本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，函数的奇偶性与周期性的应用，抽象函数的应用，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．