题目内容

若对任意n∈N*，(-1)n+1a＜3-
(-1)n
n
恒成立，则实数a的取值范围是 ______．
（1）当n为奇数时
(-1)n+1a＜3-
(-1)n
n
恒成立，转化为a＜3+
1
n
恒成立
即a≤3
（2）当n为偶数时
(-1)n+1a＜3-
(-1)n
n
恒成立，转化为a＞-3+
1
n
恒成立
即a＞-
5
2

故答案为：(-
5
2
，3]
练习册系列答案
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（2013•昌平区二模）设数列{an}，对任意n∈N*都有（kn+b）（a1+an）+p=2（a1+a2…+an），（其中k、b、p是常数）．
（1）当k=0，b=3，p=-4时，求a1+a2+a3+…+an；
（2）当k=1，b=0，p=0时，若a3=3，a9=15，求数列{an}的通项公式；
（3）若数列{an}中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”．当k=1，b=0，p=0时，设Sn是数列{an}的前n项和，a2-a1=2，试问：是否存在这样的“封闭数列”{an}，使得对任意n∈N*，都有Sn≠0，且
1
12
＜
1
S1
+
1
S2
+
1
S3
+…+
1
Sn
＜
11
18
．若存在，求数列{an}的首项a1的所有取值；若不存在，说明理由．
（2009•荆州模拟）数列{xn}满足x1=
1
3
，且n≥2时，xn=
xn-1
2-xn-1
，若对任意n∈N*，都有|x2-x1|+|x3-x2|+…+|xn+1-xn|＜a成立，则实数a的取值范围是
[
1
3
，+∞)
[
1
3
，+∞)
．
（2012•张掖模拟）已知函数f（x）=
1
2
x2+（ae-4）x+2lnx，g（x）=ax（2-lnx）（其中e为自然对数的底数，常数a≠0）．
（1）若对任意x＞0，g（x）≤1恒成立，求正实数a的取值范围；
（2）在（1）的条件下，当a取最大值时，试讨论函数f（x）在区间[
1
e
，e]上的单调性；
（3）求证：对任意的n∈N*，不等式ln
2n
n!
＜
1
12
n3-
5
8
n2+
31
24
n成立．
（2013•北京）已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项an+1，an+2…的最小值记为Bn，dn=An-Bn．
（Ⅰ）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，an+4=an），写出d1，d2，d3，d4的值；
（Ⅱ）设d是非负整数，证明：dn=-d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；
（Ⅲ）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．
（2009•浦东新区一模）已知数列{an}是首项a1=a，公差为2的等差数列；数列{bn}满足2bn=（n+1）an．
（1）若a1、a3、a4成等比数列，求数列{an}的通项公式；
（2）若对任意n∈N*都有bn≥b5成立，求实数a的取值范围；
（3）数列{cn}满足 cn-cn-2=3•(-
1
2
)n-1(n∈N*且n≥3)，其中c1=1，c2=-
3
2
；f（n）=bn-|cn|，当-16≤a≤-14时，求f（n）的最小值（n∈N*）．

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