Question

【题目】已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动.

（Ⅰ）求线段的中点的轨迹的方程；

（Ⅱ）设圆与曲线的两交点为，求线段的长；

（Ⅲ）若点在曲线上运动，点在轴上运动，求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）设点的坐标为，点的坐标为，根据点坐标，和点是线段的中点，得， ，再由点在圆上运动，求得点的轨迹方程，进而可求得点点的轨迹的方程；

（Ⅱ）由两圆的方程，相减得到直线的方程，根据圆的弦长公式，即可求解的长；

（Ⅲ）根据圆的性质得 ，由为关于轴的对称点，进而可求得的最小值，即可得到的最小值。

试题解析：

（Ⅰ）设点的坐标为，点的坐标为，由于点的坐标为，

且点是线段的中点，所以，

于是有， ①

因为点在圆上运动，

所以点的坐标满足方程

即： ②

把①代入②，得

整理，得

所以点的轨迹的方程为.

（Ⅱ）圆与圆的方程

相减得：

由圆的圆心为，半径为1，且到直线

的距离

则公共弦长

（Ⅲ）是以为圆心，半径的圆

是以为圆心，半径的圆

所以 ①

当且仅当在线段且在线段上时，取等号.

设为关于轴的对称点

则代入①式得：

当且仅当共线时，取等号.

所以的最小值为.