题目内容
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c．其中b=
，且tanA+tanC+tan
=tanAtanCtan
．
（1）求角B的大小；
（2）求a+c的取值范围．
| ||
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
（1）求角B的大小；
（2）求a+c的取值范围．
分析：（1）已知等式变形后，根据1-tanAtanC不为0，求出tanB的值，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；
（2）由b与sinB的值，利用正弦定理列出关系式，表示出a与c，进而表示出a+c，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出a+c的范围即可．
（2）由b与sinB的值，利用正弦定理列出关系式，表示出a与c，进而表示出a+c，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据A的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出a+c的范围即可．
解答：解：（1）由tanA+tanC+tan
=tanAtanCtan
，得到tanA+tanC=-tan
（1-tanAtanC），
可知1-tanAtanC≠0，否则有tanAtanC=1，tanA+tanC=0，互相矛盾；
∴
=-tan
，即tan（A+C）=-tanB=-
，
∴tanB=
，
∵B为三角形内角，∴B=
；
（2）由正弦定理
=
=
=
=1，
∴a=sinA，c=sinC=sin（
-A），
∴a+c=sinA+sin（
-A）=
sinA+
cosA=
sin（A+
），
∵0＜A＜
，∴
＜A+
＜
，
∴
＜sin（A+
）≤1，
则a+c的范围是（
，
]．
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
可知1-tanAtanC≠0，否则有tanAtanC=1，tanA+tanC=0，互相矛盾；
∴
| tanA+tanC |
| 1-tanAtanC |
| π |
| 3 |
| 3 |
∴tanB=
| 3 |
∵B为三角形内角，∴B=
| π |
| 3 |
（2）由正弦定理
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
| ||||
sin
|
∴a=sinA，c=sinC=sin（
| 2π |
| 3 |
∴a+c=sinA+sin（
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∵0＜A＜
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
∴
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
则a+c的范围是（
| ||
| 2 |
| 3 |
点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
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