Question

（2012•江西模拟）已知函数f（x）=x⁴-2ax²，a∈R．
（1）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当a＜x＜2a时，函数f（x）存在极小值，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，当a≤0时，令f'（x）＜0，可得函数f（x）的单调递减区间；f'（x）＞0，可得单调递增区间；
（2）当a＞0时，令f'（x）=0，得x=0或x=±

a

，再确定函数的单调性，利用函数f（x）存在极小值，即可确定a的取值范围．

解答：解：（1）由题设知f'（x）=4x³-4ax，
令 f'（x）=0，得4x（x²-a）=0，当a≤0时，得x=0，
x＜0时，f'（x）＜0；x＞0时，f'（x）＞0，
∴函数f（x）的单调递减区间是（-∞，0）；单调递增区间是（0，+∞）．
（2）∵a＜x＜2a，∴a＞0．
当a＞0时，令f'（x）=0，得x=0或x=±

a

，
列表如下：

x	（-∞，- a ）	（- a ，0）	（0， a ）	（ a ，+∞）
f'（x）	-	+	-	+
f（x）	递减	递增	递减	递增

得x=-

a

或x=

a

时，f（x）_极小=f（±

a

）=-a²．
取x=-

a

，由条件得 a＜-

a

＜2a，无解．
取x=

a

，由条件得 a＜

a

＜2a，解得

1

4

＜a＜1．
综合上述：

1

4

＜a＜1．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的极值，正确求导、确定函数的单调性是关键．