Question

如图，在 Rt△AOB中，，斜边AB=4，D是AB的中点．现将 Rt△AOB以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥体，点C为圆锥体底面圆周上的一点，且∠BOC=90°．
（1）求该圆锥体的体积；
（2）求异面直线AO与CD所成角的大小．

Answer 1

解：（1）∵在 Rt△AOB中，，斜边AB=4，
∴OC=2，AO=2，
该圆锥体的体积=．
（2）解法一、设OB中点为E，连接CE、DE，
则设异面直线AO与CD所成角即为∠CDE．
由DE∥AO，所以DE⊥底面COB，
于是DE⊥CE．
又，
，
∴．
即异面直线AO与CD所成角的大小为．
解法二：以OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
则O（0，0，0），，C（2，0，0），，
∴，
，
设异面直线AO与CD所成角为θ，
则．
∴异面直线AO与CD所成角的大小为．
分析：（1）在 Rt△AOB中，，斜边AB=4，所以OC=2，AO=2，该圆锥体的体积=．
（2）解法一、设OB中点为E，连接CE、DE，则设异面直线AO与CD所成角即为∠CDE．由DE∥AO，所以DE⊥底面COB，于是DE⊥CE．又，．由此能求出异面直线AO与CD所成角的大小．
解法二：以OC为x轴，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，则，，设异面直线AO与CD所成角为θ，则．由此能求出异面直线AO与CD所成角的大小．
点评：本题考查圆锥体的体积和两条异面直线所成角的大小的求法，解题时要认真审题，合理地建立空间直角坐标系，利用向量法求解两条异面直线所成角的大小．