Question

4名学生和3名教师站成一排照相，问：
（1）中间三个位置排教师，有多少种排法？
（2）一边是教师，另一边是学生的排法有多少种？
（3）首尾不排教师有多少种排法？
（4）任意2名教师不能相邻的排法有多少种？

Answer 1

分析：（1）先排教师有

A

3 3

种方法，再排学生有

A

4 4

种方法，再根据分步计数原理求得结果．
（2）教师和学生各看成一个大元素，可以交换位置，共有

A

3 3

A

4 4

A

2 2

=288种不同的排法．
（3）首尾两个位置排学生有

A

2 4

种，其余5个位置可任意其余的5人，有

A

5 5

种方法，再根据分步计数原理求得结果
（4）先排4名学生，有

A

4 4

种方法；再把3个教师插入4个学生形成的5个空中，方法有

A

3 5

种．根据分步计数原理，求得结果．

解答：解：（1）先排教师有

A

3 3

种方法，再排学生有

A

4 4

种方法，故共有

A

3 3

×

A

4 4

=144种．
（2）教师和学生各看成一个大元素，可以交换位置，共有

A

3 3

A

4 4

A

2 2

=288种不同的排法．
（3）首尾两个位置排学生共有

A

2 4

种，其余5个位置可以排余下的5人，有

A

5 5

种方法，
所以，共有

A

2 4

A

5 5

=1440种．
（4）采用“插空法”，先排4名学生，有

A

4 4

种方法；
再把3个教师插入4个学生形成的5个空中，方法有

A

3 5

种．
根据分步计数原理，所有满足条件的排法共有

A

4 4

A

3 5

=1440种．

点评：本题主要考查排列组合的实际应用，本题解题的关键是对于有限制的元素要优先排，特殊位置要优先排．不相邻问题用插空法，属于中档题．