Question

15．如图，在多面体ABCDEF中，DE⊥平面ABCD，AD∥BC，平面BCEF∩平面ADEF=EF，∠BAD=60°，AB=AD=2，DE=1．
（1）求证：BC∥EF；
（2）求三棱锥B-ADE的体积．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，得BC∥平面ADEF，由此能证明BC∥EF．
（2）利用等体积转化求出三棱锥B-ADE的体积．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，AD?平面ADEF，BC?平面ADEF
∴BC∥平面ADEF…（3分）
又BC?平面BCEF，平面BCEF∩平面ADEF=EF
∴BC∥EF．  …（6分）
（2）解：∵DE⊥平面ABCD，∴DE是三棱锥E-ADB的高
又∠BAD=60°，AB=AD=2，∴三角形ADB是等边三角形
∴V_B-ADE=V_E-ADB=$\frac{1}{3}×{S_{△ADB}}×DE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2sin{60°}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$…（12分）

点评 本题主要考查了直线与平面平行的判定与性质，以及着重考查了利用棱锥的体积公式求组合几何体的体积问题，考查空间想象能力、运算能力．