Question

7．设函数f（x）=$\frac{sin2x-sinx}{1+cos2x-cosx}$，关于f（x）的性质，下列说法正确的是②④．
①定义域是{x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}；
②值域是R；
③最小正周期是π；
④f（x）是奇函数；
⑤f（x）在定义域上单调递增．

Answer 1

分析 利用二倍角公式化简函数解析式，根据正切函数的图象和性质逐一分析各个选项即可得解．

解答 解：f（x）=$\frac{sin2x-sinx}{1+cos2x-cosx}$=$\frac{sinx（2cosx-1）}{cosx（2cosx-1）}$=tanx（cosx$≠\frac{1}{2}$），
对于①，函数f（x）的定义域是{x|x≠2kπ+$\frac{π}{3}$，x≠kπ+$\frac{π}{2}$，x≠2kπ+$\frac{5π}{3}$，k∈Z}，故错误；
对于②，函数f（x）的值域是R，故正确；
对于③，由于f（x+π）=$\frac{sin2（x+π）-sin（x+π）}{1+cos2（x+π）-cos（x+π）}$=$\frac{sinx（2cosx+1）}{cosx（2cosx+1）}$=tanx（其中cosx≠$-\frac{1}{2}$），故错误；
对于④，由于f（-x）=$\frac{sin（-2x）-sin（-x）}{1+cos（-2x）-cos（-x）}$=-$\frac{sinx（2cosx-1）}{cosx（2cosx-1）}$=-f（x），故正确；
对于⑤，由正切函数的图象可知函数在整个定义域上不单调，有无数个单调增区间，故错误．
故答案为：②④．

点评 本题主要考查了二倍角公式在三角函数化简中的应用，考查了三角函数的图象和性质的应用，属于中档题．