Question

如图甲，在平面四边形ABCD中，已知,，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC（如图乙），设点E，F分别为棱AC，AD的中点．

（1）求证：DC平面ABC；     
（2）设，求三棱锥A－BFE的体积．

Answer 1

（1）证明：见解析；（2）.

解析试题分析：（1）注意分析折叠前后变化的关系及不变化的关系.在图甲中可得；
在图乙中，可得AB⊥CD．根据DC⊥BC，即可得到DC⊥平面ABC．
（2）首先根据E，F分别为AC，AD的中点，得到EF//CD，根据（1）知，DC⊥平面ABC，得到EF⊥平面ABC，从而得到 
在图甲中，根据给定角度及长度，计算“不变量”，得，BD=2，BC=，EF=CD=，
利用体积公式计算即得所求．
解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，等体积转化的方法，是立体几何中常用方法之一.
（1）证明：在图甲中∵且 ∴，
即                                     1分
在图乙中，∵平面ABD⊥平面BDC ， 且平面ABD∩平面BDC＝BD
                          4分
又，，且，∴DC⊥平面ABC．           6分
（2）解：，                 7分
又由（1）知，DC⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC，                   8分
所以，                      9分
在图甲中，
由得，，                   10分
，
              11分
                           12分
考点：平行关系，垂直关系，几何体的体积.