题目内容

已知函数f（x）=x²-（2a-1）x+a²-2，g（x）=-3^x-2，
（1）若f（x）在区间（3，+∞）上单调递增，求a的取值范围；
（2）若f（x）与非负x轴至少有一个交点，求a的取值范围；
（3）当 $数学公式$ 时，判断f（x）与g（x）的交点个数并说明理由．

解：（1）∵函数f（x）=x²-（2a-1）x+a²-2，若f（x）在区间（3，+∞）上单调递增，则有- $\text{[math]}$ ≤3，解得 a≤ $\text{[math]}$ ，
故a的取值范围为（-∞， $\text{[math]}$ ]．
（2）当f（x）=x²-（2a-1）x+a²-2 与非负x轴没有交点时，
则△＜0，或 $\text{[math]}$ ，解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，故当f（x）与非负x轴至少有一个交点时，应有 $\text{[math]}$ ，
故a的取值范围为[- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]．
（3）当 $\text{[math]}$ 时，f（x）=x²+ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，故f（x）的值域为[-2，+∞）．
而函数g（x）=-3^x-2 的值域为（-∞，-2），故函数f（x）的图象和函数g（x）的图象无交点．
分析：（1）由题意可得有- $\text{[math]}$ ≤3，由此解得 a的取值范围．
（2）当f（x）=x²-（2a-1）x+a²-2 与非负x轴没有交点时，求得a的取值范围，再取补集，即得所求的a的取值范围．
（3）当 $\text{[math]}$ 时，求得f（x）的值域为[-2，+∞），而函数g（x）=-3^x-2 的值域为（-∞，-2），故函数f（x）的图象和函数g（x）的图象无交点．
点评：本题主要考查二次函数的性质应用，方程根的存在性及个数判断，属于基础题．