Question

设满足以下两个条件的有穷数列a₁，a₂，…，a_n为n（n=2，3，4，…，）阶“期待数列”：
①a₁+a₂+a₃+…+a_n=0；
②|a₁|+|a₂|+|a₃|+…+|a_n|=1．
（Ⅰ）分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）若某2k+1（k∈N^*）阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；
（Ⅲ）记n阶“期待数列”的前k项和为S_k（k=1，2，3，…，n），试证：
（1）；     
（2）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用新定义直接利用等差数列，写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；
（Ⅱ）利用某2k+1（k∈N^*）阶“期待数列”是等差数列，通过公差为0，大于0．小于0，分别求解该数列的通项公式；
（Ⅲ）（1）判断k=n时，，然后证明k＜n时，利用数列求和以及绝对值三角不等式证明即可；     
（2）通过数列求和，以及绝对值三角不等式和放缩法，利用裂项法求和，证明．
解答：（本题14分）
解：（Ⅰ）数列为三阶期待数列…（1分）
数列为四阶期待数列，…..…..（3分）（其它答案酌情给分）
（Ⅱ）设等差数列a₁，a₂，a₃，…，a_2k+1（k≥1）的公差为d，
∵a₁+a₂+a₃+…+a_2k+1=0，
∴，
所以a₁+kd=0，
即a_k+1=0，∴a_k+2=d，…（4分）
当d=0时，与期待数列的条件①②矛盾，…（5分）
当d＞0时，据期待数列的条件①②得：，
∴，即
由a_k+1=0得 ，即 ，
∴．…（7分）
当d＜0时，
同理可得，即，
由a_k+1=0得 ，即
∴．…（8分）
（Ⅲ）（1）当k=n时，显然成立；…（9分）
当k＜n时，据条件①得S_k=a₁+a₂+…+a_k=-（a_k+1+a_k+2+…+a_n），
即|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|=|a_k+1+a_k+2+…+a_n|，
∴2|S_k|=|a₁+a₂+…+a_k|+|a_k+1+a_k+2+…+a_n|
≤|a₁|+|a₂|+…+|a_k|+|a_k+1|+|a_k+2|+…+|a_n|=1，
∴．…（11分）

=
=


=
=．…（14分）
点评：本题考查新数列新定义的应用，数列求和的方法，放缩法以及绝对值三角不等式的应用，考查分析问题解决问题的能力，难度较大，考查计算能力．