Question

（2012•宣城模拟）已知三次函数f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）为R上奇函数，且在x=

3

3

处取得极值-

2 3

9

．记函数图象为曲线C．
（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；
（Ⅱ）设曲线C与其在点P₁（1，f（1））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），线段P₁P₂与曲线C所围成封闭图形的面积记为S₁，求S₁的值；
（Ⅲ） 在（Ⅱ）的条件下，设曲线C与其在点P₂处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积记为S₂，…，按此方法依次做下去，即设曲线C与其在点P_n（x_n，f（x_n））处的切线交于另一点P_n+1（x_n+1，f（x_n+1）），线段P_nP_n+1与曲线C所围成封闭图形的面积记为S_n，试求S_n关于n的表达式．

Answer 1

分析：（I）利用奇函数的特点，采用特殊值代入法即可解得b=d=0，再利用函数极值的特点，列方程组即可解得a、c的值，从而确定函数的解析式；
（II）先利用导数的几何意义，计算曲线C与其在点P₁（1，f（1））处的切线方程，再利用定积分的几何意义，通过求定积分计算线段P₁P₂与曲线C所围成封闭图形的面积
（III）先利用导数的几何意义，计算曲线C与其在点P_n（x_n，f（x_n））处的切线方程，再利用定积分的几何意义，通过求定积分计算线段P_nP_n+1与曲线C所围成封闭图形的面积S_n，发现数列{S_n}为等比数列，从而利用等比数列的通项公式计算S_n关于n的表达式即可

解答：解：（Ⅰ）∵三次函数为R上奇函数，∴f（0）=0，f（-1）=-f（1）
即d=0且-a+b-c=-a-b-c
∴b=d=0
即f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c，又f（x）=ax³+cx在x=

3

3

处取得极值-

2 3

9

，
∴

f( 3 3 )=- 2 3 9 f′( 3 3 )=0

即

a( 3 3 ) 3+c( 3 3 )=-  2 3 9 3a( 3 3 ) 2+c=0

得a=1，c=-1，∴f（x）=x³-x
（Ⅱ）∵f′（x）=3x²-1，f（1）=0，f′（1）=2，
∴曲线C在点P₁处的切线方程为y=2（x-1）
由

y=2(x-1) y=x3-x

解得x₁=1，x₂=-2，
∴S₁=|

∫

1 -2

x3-x-2(x-1)dx|=|（

1

4

x4 -

3

2

x2+2x）

|

1 -2

|=

27

4

（Ⅲ）f（x）在P_n（x_n，f（x_n））的切线：
y-（xn3-x_n）=（3xn2-1）（x-x_n）即y=（3xn2-1）x-2xn3
由

y=(3xn2-1)x-2xn3 y=x3-x

解得x=x_n或x=-2x_n，
∴P_n+1（-2x_n，f（-2x_n）），x_n+1=-2x_n，
S_n=|

∫

-2xn xn

x³-x-[（3xn2-1）x-2xn3]dx|=|（

1

4

x4 -

3

2

xn2x2+2xn3x）

|

-2xn xn

|=

27

4

xn4
同理得S_n+1=

27

4

xn+14，又x_n+1=-2x_n≠0，∴

Sn+1

Sn

=(

xn+1

xn

)4=16，又S₁=

27

4

∴S_n=

27

4

•16^n-1=

27

64

•16ⁿ  n∈N^*．

点评：本题综合考查了函数的性质，导数的几何意义，导数在函数极值中的应用，定积分的几何意义及其运算，函数与数列的综合运用，等比数列的通项公式等知识，综合性较强，难度较大