Question

已知抛物线的焦点为F₂，点F₁与F₂关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴（垂足为T），与抛物线交于不同的两点P,Q且.

（I）求点T的横坐标；

（II）若以F₁,F₂为焦点的椭圆C过点.

①求椭圆C的标准方程；

②过点F₂作直线l与椭圆C交于A,B两点，设，若的取值范围.

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意得，，设，，

则，.

由，得即，①…………………2分

又在抛物线上，则，②

联立①、②易得                                 ……………………4分

（Ⅱ）（ⅰ）设椭圆的半焦距为，由题意得，

设椭圆的标准方程为，

则   ③

    ④                                     …………………5分

将④代入③，解得或（舍去）                   

所以                                      ……………………6分

故椭圆的标准方程为                       ……………………7分

（ⅱ）方法一：

容易验证直线的斜率不为0，设直线的方程为

将直线的方程代入中得：.…………………8分

设，则由根与系数的关系，

可得：      ⑤

         ⑥          …………………9分

因为，所以，且.

将⑤式平方除以⑥式，得：

由

 所以       ……………………………………………………………11分

因为，所以，

又，所以，

故

，

令，所以  所以，即，

所以.

而，所以. 

所以.   ………………………………………………13分

方法二：

1）当直线的斜率不存在时，即时，，，

又，所以       …………8分

2）当直线的斜率存在时，即时，设直线的方程为

由得

    设，显然，则由根与系数的关系，

可得：，          ……………………9分

          ⑤

    ⑥

因为，所以，且.

将⑤式平方除以⑥式得：

由得即

故，解得   ………………………………………10分

因为，

所以，

又，

故

…………………11分

令，因为  所以，即，

所以.

所以                         ……………………12分

综上所述：.                   ……………………13分