Question

设函数f（x）=a-，
（1）求证：不论a为何实数f（x）总为单调函数，并说明是何种单调函数；
（2）试确定a的值，使f（x）的图象能关于原点对称并求此时f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）=a-，知f（x）的定义域为R，利用定义法能够证明不论a为何实数f（x）总为单调递增函数．
（2）由f（x）的图象关于原点对称，知f（x）是奇函数，所以a-=-a+，解得f（x）=1-，由此能求出f（x）的值域．
解答：（1）证明：∵f（x）=a-，
∴f（x）的定义域为R，
在R上任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=a--a+
=，
∵x₁＜x₂，∴，（1+）（1+）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
故不论a为何实数f（x）总为单调递增函数．
（2）解：∵f（x）的图象关于原点对称，
∴f（x）是奇函数，∴f（-x）=-f（x），
∴a-=-a+，解得a=1．
∴f（x）=1-，
∵2^x+1＞1，∴0＜＜2，
∴-2，
∴-1＜f（x）＜1，
∴f（x）的值域为（-1，1）．
点评：本题考查函数的单调性的证明，考查函数的值域的求法，解题时要认真审题，注意定义法和函数的奇偶性的合理运用．