Question

（2013•德州二模）已知f（x）=x-ln（x+l），g（x）=ax²．
（I）求函数f（x）的单调区间与最值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由函数f（x）的解析式，求出导函数的解析式，根据导函数的符号与原函数单调性的关系，可求函数f（x）的单调区间与最值；
（Ⅱ）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤g（x）恒成立，则f（x）-g（x）≤0恒成立，构造函数h（x）=f（x）-g（x），并将恒成立问题转化为最值问题，分类讨论后，综合讨论结果可得实数a的取值范围．

解答：解：（I）∵f（x）=x-ln（x+l），（x＞-1）
∴f′（x）=1-

1

x+1

=

x

x+1

，（x＞-1）
当-1＜x＜0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）为减函数
当x＞0时，f′（x）＞0，此时函数f（x）为增函数
故函数f（x）在（-1，0）上为减函数，在（0，+∞）上为增函数
当x=0时，函数f（x）取最小值0，无最大值
（II）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）≤g（x）恒成立，
则对任意的x∈[0，+∞），有g（x）-f（x）≥0恒成立，
令h（x）=g（x）-f（x）=ax²-x+ln（x+l），x∈[0，+∞），
则h′（x）=2ax-1+

1

x+1

=

x(2ax+2a-1)

x+1

（1）若a≤0，由x∈[0，+∞）知h′（x）≤0
此时函数h（x）为减函数，故h（x）≤h（0）=0，
故a≤0时不满足题意
（2）若a＞0
①当2a-1≥0，即a≥

1

2

时，
由x∈[0，+∞）知h′（x）≥0
此时函数h（x）为增函数，故h（x）≥h（0）=0，
故a≥

1

2

时满足题意
②当2a-1＜0，即0＜a＜

1

2

时，
令h′（x）＜0得：0＜x＜

1

2a

-1
故函数h（x）在（0，

1

2a

-1）上为减函数
此时h（x）＜h（0）=0
∴0＜a＜

1

2

时不满足题意
综上所述实数a的取值范围为[

1

2

，+∞）

点评：本题考查的知识点是利用导数求闭区间上的函数最值，利用导数研究函数的单调性，熟练掌握导数符号与原函数单调性的关系，是解答的关键．