Question

在数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N^*）．
（1）试判断数列{

1

an

}是否成等差数列；
（2）设{b_n}满足b_n=

1

an

，求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）若λa_n+

1

an+1

≥λ对任意n≥2的整数恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知可得

1

an

-

1

an-1

=3（n≥2）．由此能够证明数列{

1

an

}是等差数列．
（2）由（1）的结论可得b_n=

1

an

=1+（n-1）×3，所以b_n=3n-2，由此能求出S_n．
（3）将a_n=

1

bn

=

1

3n-2

代入λa_n+

1

an+1

≥λ，并整理得λ（1-

1

3n-2

）≤3n+1，故λ≤

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，原命题等价于该式对n≥2恒成立．由此能够求出实数λ的取值范围．

解答：解：（1）∵数列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2，n∈N^*），
∴a_n-1-a_n=3a_na_n-1，
∴

1

an

-

1

an-1

=3（n≥2）．
故数列{

1

an

}是等差数列．
（2）由（1）的结论可得b_n=

1

an

=1+（n-1）×3，
所以b_n=3n-2，
∴S_n=

n(1+3n-2)

2

=

n(3n-1)

2

．
（3）将a_n=

1

bn

=

1

3n-2

代入λa_n+

1

an+1

≥λ并整理得λ（1-

1

3n-2

）≤3n+1，
∴λ≤

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，
原命题等价于该式对n≥2恒成立．
设C_n=

(3n+1)(3n-2)

3n-3

，
则C_n+1-C_n=

(3n+1)(3n-4)

3n(n-1)

＞0，C_n+1＞C_n，
∵n=2时，C_n的最小值C₂为

28

3

，
∴λ的取值范围是（-∞，

28

3

]．

点评：本题考查等差数列的判断、数列前n项和公式的求法和求实数λ的取值范围．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．