题目内容

证明：（1）（n∈N）；
（2）2C2n+C2n1+2C2n2+C2n3+…+C2n2n-1+2C2n2n=3•22n-1（n∈N）；
（3）．
【答案】分析：（1）从右边开始分析，将3看成1+2，由二项式定理展开可得左式，即原等式可得证明；
（2）观察左式，可将左式转化为（C2n+C2n1+C2n3+…+C2n2n）+（C2n+C2n2+C2n4+…+C2n2n），由二项式系数的性质，（C2n+C2n1+C2n3+…+C2n2n）=22n，（C2n+C2n2+C2n4+…+C2n2n）=22n-1，相加可得右式，即原等式可得证明；
（3）由二项式定理，将（1+）n展开可得1+Cn1+Cn2+…+Cnn=1+1++Cn2+…+Cnn；分析可得：（1+）n＞2；另一方面，用放缩法分析，，（1+）n=1+1+++…+••（n-1）（n-2）…2•1＜1+1+++…+＜1+1+++…+；整理可得右式的证明，综合可证得原不等式．
解答：证明：（1）右式=3n=（1+2）n=C22+C2121+C2222+…+C2n2n==左式；
故得证；
（2）左式=（C2n+C2n1+C2n3+…+C2n2n）+（C2n+C2n2+C2n4+…+C2n2n）=22n+22n-1=3•22n-1=右式；
故得证；
（3）由二项式定理，（1+）n=1+Cn1+Cn2+…+Cnn=1+1+Cn2+…+Cnn；①
由①知，（1+）n＞2；
另一方面，（1+）n=1+1+++…+••（n-1）（n-2）…2•1
＜1+1+++…+＜1+1+++…+
＜1+=3；
综合即2＜（1+）n＜3．
点评：本题考查二项式定理的应用，涉及等式、不等式的证明；注意观察原等式或不等式的形式，结合二项式定理，进而对原题题干进行恒等变形，最终证明命题．
练习册系列答案
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设函数f（x）的定义域、值域均为R，f（x）的反函数为f-1（x），且对任意实数x，均有f(x)+f-1(x)＜
5
2
x，定义数列an：a0=8，a1=10，an=f（an-1），n=1，2，…．
（1）求证：an+1+an-1＜
5
2
an(n=1，2，…)；
（2）设bn=an+1-2an，n=0，1，2，…．求证：bn＜(-6)(
1
2
)n（n∈N*）；
（3）是否存在常数A和B，同时满足①当n=0及n=1时，有an=
A•4n+B
2n
成立；②当n=2，3，…时，有an＜
A•4n+B
2n
成立．如果存在满足上述条件的实数A、B，求出A、B的值；如果不存在，证明你的结论．
试比较nn+1与（n+1）n（n∈N*）的大小．
当n=1时，有nn+1
 
（n+1）n（填＞、=或＜）；
当n=2时，有nn+1
 
（n+1）n（填＞、=或＜）；
当n=3时，有nn+1
 
（n+1）n（填＞、=或＜）；
当n=4时，有nn+1
 
（n+1）n（填＞、=或＜）；
猜想一个一般性的结论，并加以证明．
在等差数列{an}中，a1=1，a5=9，在数列{bn}中，b1=2，且bn=2bn-1-1，（n≥2）
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）设Tn=
a1
b1-1
+
a2
b2-1
+
a3
b3-1
+…+
an
bn-1
，证明对?n∈N*，Tn＜6都成立．
如图，△OBC的在个顶点坐标分别为（0，0）、（1，0）、（0，2），设P为线段BC的中点，P为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn+3为线段PnPn+1的中点，令Pn的坐标为（xn，yn），an=
1
2
yn+yn+1+yn+2.
（Ⅰ）求a1，a2，a3及an；
（Ⅱ）证明yn+4=1-
yn
4
，n∈N*；
（Ⅲ）若记bn=y4n+4-y4n，n∈N*，证明{bn}是等比数列．
设数列{an}满足a1=0且anan+1-2an+1+1=0（n∈N*）．
（I）证明：数列{
1
1-an
}是等差数列；
（II）设数列bn=（an-1）2，Sn是数列{bn}的前n项和，证明：
1
2
＜Sn＜2．

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