Question

已知圆O的半径为1，PA，PB为该圆的两条切线，A，B为两切点，则取得最小值时的OP的值为（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer 1

【答案】分析：设与的夹角为α，将表示成关于tanα的分式函数，令tan²α=x，得=（x＞0），利用导数研究它的单调性，可得当x=1+时，即tan²α=1+时，有最小值，由此即可算出||²=-1+，由勾股定理可算出此时OP的长，从而得到本题答案．
解答：解：设与的夹角为α，则||=||=
∴=•|cos2α|
=•cos2α=•=
令tan²α=x，得=（x＞0）
∵f（x）=的导数f'（x）==
∴0＜x＜1+时，f'（x）＜0；x＞1+时，f'（x）＞0
可得f（x）在区间（0，1+）上是减函数，在区间（1+，+∞）上是增函数
∴当x=1+时，即tan²α=1+时，有最小值f（1+）=-3+2
此时，||²==-1+，可得|OP|===
故选：B
点评：本题给出圆外一点P，由P引圆的两条切线，求向量数量积的最小值，着重考查了直线与圆的位置关系、利用导数研究函数的单调性和平面向量数量积的运算等知识，属于中档题．