Question

已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么

PA

•

PB

的最小值为（　　）

• A、-4+

  2

• B、-3+

  2

• C、-4+2

  2

• D、-3+2

  2

Answer 1

分析：要求

PA

•

PB

的最小值，我们可以根据已知中，圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，结合切线长定理，设出PA，PB的长度，和夹角，并将

PA

•

PB

表示成一个关于X的函数，然后根据求函数最值的办法，进行解答．

解答：解：如图所示：设PA=PB=x（x＞0），
∠APO=α，则∠APB=2α，
PO=

1+x2

，
sinα=

1

1+x2

，

PA

•

PB

=

|PA

|•|

PB

|cos2α
=x²（1-2sin²α）
=

x2(x2-1)

x2+1

=

x4-x2

x2+1

，
令

PA

•

PB

=y，则y=

x4-x2

x2+1

，
即x⁴-（1+y）x²-y=0，由x²是实数，
所以△=[-（1+y）]²-4×1×（-y）≥0，y²+6y+1≥0，
解得y≤-3-2

2

或y≥-3+2

2

．
故（

PA

•

PB

）min=-3+2

2

．此时x=

2 -1

．

点评：本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法--判别式法，同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力．