Question

【题目】已知定圆：，动圆过点，且和圆相切.

（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹的方程；

（Ⅱ）若直线：与轨迹交于，两点，线段的垂直平分线经过点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）圆的半径，设动圆的半径为由，从而圆内切于圆，根据，利用椭圆的定义可得，，从而求出椭圆的方程.

（Ⅱ）将直线与椭圆联立消去得到， ，即，设，，利用韦达定理求出弦中点的坐标，线段的垂直平分线方程是，将点代入整理可得，代入即可求解.

（Ⅰ）圆的圆心为，半径.

设动圆的半径为，依题意有.

由，可知点在圆内，从而圆内切于圆，故，

即.

所以动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为的椭圆.

因为，，所以.

于是的方程是.

（Ⅱ）设，，联立消去得到，

，即.

则，，

弦中点的坐标是.

由，得.

另一个方面，线段的垂直平分线方程是.

点在此直线上，

得到，整理得.

代入中，，.

又，，所以，.

故实数的取值范围.