Question

已知函数f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)．
（1）求它的定义域，值域；
（2）判定它的奇偶性和周期性；
（3）判定它的单调区间及每一区间上的单调性．

Answer 1

（1）要使函数有意义，则

2

sin(x-

π

4

)＞0，解得2kπ＜x-

π

4

＜2kπ+π，
即2kπ+

π

4

＜x＜2kπ+

5π

4

，
即函数的定义域为(2kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

)，
∵0＜

2

sin?(x-

π

4

)≤1，
∴函数f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)≥0，
即函数的值域为[0，+∞）．
（2）∵函数的定义域关于原点不对称，∴函数为非奇非偶函数函数．
∵函数y=

2

sin?(x-

π

4

)的周期是π，
∴函数f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)周期是π．
（3）∵y=

2

sin?(x-

π

4

)的单调递增区间为(2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

]，
∴根据复合函数的单调性可知此时函数f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)单调递减．
∵y=

2

sin?(x-

π

4

)的单调递减区间为[2kπ+

3π

4

2kπ+

5π

4

)，
∴根据复合函数的单调性可知此时函数f(x)=log

1

2

2

sin(x-

π

4

)单调递增．
故函数的单调递增区间为为[2kπ+

3π

4

2kπ+

5π

4

)，递减区间为为(2kπ+

π

4

，2kπ+

3π

4

]．