Question

已知函数f（x）=lnx．
（1）求f（x）的反函数g（x）；
（2）求f（x）的图象上点（1，0）处的切线方程；
（3）证明：函数G（x）=g（x）-

1

2

x²-x-1只有一个零点．

Answer 1

分析：（1）根据同底的指数函数和对数函数互为反函数，求g（x）．
（2）利用导数求切线斜率，利用导数的几何意义求切线方程．
（3）利用函数零点的定义，结合导数研究函数的单调性，利用单调性证明函数只有一个零点．

解答：解：（1）因为f（x）=lnx，x＞0，
所以f（x）的反函数g（x）=e^x，x∈R．
（2）设所求切线的斜率为k，
∵f'（x）=

1

x

，∴f（x）的图象上点（1，0）处的切线斜率k=f'（1）=1，
于是在点（1，0）处的切线方程为：y=x-1．
（3）G（x）=g（x）-

1

2

x²-x-1=e^x-

1

2

x²-x-1，
∵G（0）=1-1=0，
∴G（x）存在零点x=0．
又G'（x）=e^x-x-1，令h（x）=G'（x）=e^x-x-1，则h'（x）=e^x-1，
当x＜0时，h'（x）＜，即G'（x）在（-∞，0）单调递减．
当x＞0时，h'（x）＞0，即G'（x）在（0，+∞）单调递增．
∴G'（x）在x=0有唯一的极小值G'（0）=0．即G'（x）在R上的最小值为G'（0）=0．
∴G'（x）≥0（仅当x=0时等号成立），
即G'（x）在R上单调递增函数．
∴G'（x）在R上只有一个零点．

点评：本题主要考查反函数的应用，导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和判断零点问题，综合性较强，运算量较大．