Question

已知函数f（x）=log_a（x²-4ax+3a²）（a＞0，a≠1）．
（I）求函数f（x）的定义域；
（II）若f（x）在区间[a+2，a+3]上满足|f（x）|≤1，试确定a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）求函数f（x）的定义域，依据对数函数的定义，底数大于0且不等于1，真数大于0，转化为不等式用参数a表示出函数f（x）的定义域；
（II）由（I）的结论知[a+2，a+3]必为（0，a）或者（3a，+∞）的子集，故[a+2，a+3]必为f（x）的单调区间，欲满足|f（x）|≤1，只须|f（a+2）|≤1，|f（a+3）|≤1同时成立，解此二不等式即可求得a的取值范围．

解答：解：（I）由对数定义知a＞0且a≠1，
   由  x²-4ax+3a²＞0，变形得（x-3a）（x-a）＞0
   解得  x＞3a，或  x＜a
   所以定义域（0，a）∪（3a，+∞）
 （II）由（I）的结论知[a+2，a+3]必为（0，a）或者（3a，+∞）的子集，故[a+2，a+3]必为f（x）的单调区间，
   若[a+2，a+3]?（0，a），a无解
   若[a+2，a+3]?（3a，+∞）则a+2＞3a，得a＜1，此时外层函数为减函数，内层函数t=x²-4ax+3a²在区间[a+2，a+3]上是增函数
∴f（x）在区间[a+2，a+3]上是减函数，又满足|f（x）|≤1，
∴

f(a+2)≤1 f(a+3)≤1

解得

a≤ 4 5 a≥ 3 4 + 14 6 或a≤ 3 4 - 14 6

即a≤ 

3

4

-

14

6

   又a＞0，故a的取值范围是（0，

3

4

-

14

6

）

点评：本题考查对数型复合函数，求其定义域时要注意底数大于0且不等式于1，第二问考查了利用复合函数的单调性转化为不等式求参数，有一定难度．