Question

如图，在多面体ABCDE中，AE⊥面ABC，DB∥AE，且AC=AB=BC=AE=1，BD=2，F为CD中点．
（1）求证：EF⊥平面BCD；
（2）求平面ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）找BC中点G点，连接AG，FG，证明EF∥AG，然后证明AG⊥平面BCD，说明EF⊥平面BCD．
（2）以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系，求出的坐标，设平面CEF的法向量为，利用，求出，说明平面ABC的法向量为，利用，即可得到平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值．
解答：解：（1）找BC中点G点，连接AG，FG
∴F，G分别为DC，BC中点
∴
∴四边形EFGA为平行四边形∴EF∥AG
∵AE⊥平面ABC，BD∥AE
∴DB⊥平面ABC，
又∵DB?平面BCD．
∴平面ABC⊥平面BCD
又∵G为BC中点且AC=AB=BC∴AG⊥BC
∴AG⊥平面BCD
∴EF⊥平面BCD
（2）以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系
则
设平面CEF的法向量为，
由得
平面ABC的法向量为
则
∴平面角ECD和平面ACB所成的锐二面角的余弦值为．
点评：本题考查用空间向量求平面间的夹角，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和计算能力．