Question

已知数列{a_n}满足对任意的n∈N^*，成立，解决下列问题．
（Ⅰ）若a₃是2a₁、a₄的等比中项，求a₁的值；
（Ⅱ）求证：数列{}为等差数列；
（Ⅲ）若a₁=2，数列{}的前n项和为S_n，求证．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接把n=3，2，1代入，再借助于a₃是2a₁、a₄的等比中项，即可求出a₁的值；
（Ⅱ）先假设存在一个实数λ符合题意，得到   必为与n无关的常数，整理   即可求出实数λ，进而求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅲ）通过（Ⅱ），求出数列的通项公式，求出数列的前n项和，利用放缩法扩大数列的和，通过无穷数列的求和，证明结果．
解答：解：（Ⅰ）由，a₃是2a₁、a₄的等比中项，a₃²=2a₁•a₄，
，所以同理可得，
所以，解得a₁=-16．
（Ⅱ）由，可知，所以，
所以数列{}是以为首项以2为公差的等差数列．
（Ⅲ）若a₁=2，数列{}的首项为1，公差为2，所以，
所以，
前n项和为S_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，①
则2S_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-S_n=2+2（2²+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=2+-（2n-1）×2ⁿ⁺¹．
S_n=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6．
=，
=
=++…
＜=1＜．
点评：本题主要考查数列递推关系式的应用以及等差关系的确定．数列求和的方法，错位相减法以及放缩法的应用，考查分析问题解决问题的能力．