Question

14．（1）若α+β=45°，求证：（tanα+1）（tanβ+1）=2；
（2）若（tanα+1）（tanβ+1）=2，求α+β的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两角和的正切公式化简等式的左边，即可证得结论．
（2）由所给的等式利用两角和的正切公式求得 tan（α+β）的值，可得α+β的值．

解答 （1）证明：∵α+β=45°，∴tan（α+β）=1，
∴（tanα+1）（tanβ+1）=tanβtanβ+（tanα+tanβ）+1=tanβtanβ+tan（α+β）（1-tanαtanβ）+1
=tan（α+β）+1=2．
（2）解：若（tanα+1）（tanβ+1）=tanβtanβ+（tanα+tanβ）+1=2，
则 tanα+tanβ=1-tanβtanβ，即 tan（α+β）（1-tanβtanβ ）=1-tanβtanβ，
∴tan（α+β）=1，∴α+β=kπ+$\frac{π}{4}$，k∈Z．

点评 本题主要考查两角和的正切公式的应用，属于基础题．