Question

已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率，且经过抛物线x²=4y的焦点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若过点B（0，﹣2）的直线l（斜率不等于零）与椭圆交于不同的两点E，F（E在B，F之间），△OBE与△OBF面积之比为λ，求λ的取值范围．

Answer 1

解：（1）由已知得F（0，1），设椭圆方程为（a＞b＞0），则b=1
∵椭圆的离心率为，
∴，
∵a²=b²+c²，
∴a²=2，c=1
∴椭圆方程为+y²=1；
（2）由题意知l的斜率存在且不为零，
设l方程为y=mx﹣2（m≠0）①，
代入+y²=1，
整理得（2m²+1）x²﹣8mx+6=0，
由△＞0得m²＞．
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），则
x₁+x₂=，x₁x₂= ②
∵△OBE与△OBF面积之比为λ
∴，
∴
∴x₂=λx₁．
代入②得，消去x₁得，
∵m²＞．
∴
∴
∴且λ≠1