Question

如果(3x-

1

3 x2

)n的展开式中各项系数之和为128，在展开式中任取一项，设所取项为有理项的概率为p，则

∫

1 0

xpdx=（　　）

• A、

  3

  8

• B、

  8

  3

• C、

  8

  11

• D、

  7

  10

Answer 1

分析：先根据各项系数之和为128求出n；再求出其展开式的通项，得到哪些项为有理项，进而求出p；再求出原函数即可得到答案．

解答：解：令x=1得，（3-1）ⁿ=128⇒2ⁿ=128⇒n=7．
∴(3x-

1

3 x2

)n的展开式的通项为：T_r+1=

C

r 7

（3x）^7-r•(-

1

3 x2

)r=（-1）^r•3^7-r•

C

r 7

•x7-

5r

3

；
当r=0，3，6时，展开式为有理项；
∴p=

3

8

；
而（

8

11

•x

11

8

）′=x

3

8

；
∴

∫

1 0

xpdx=

8

11

•x

11

8

|

1 0

=

8

11

．
故选：C

点评：本题主要考察二项式系数的性质以及定积分．是对基础知识的综合考察，属于基础题目，解决本题的关键在于熟练掌握展开式的通项．