Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a1=

1

4

，且2S_n=2S_n-1+2a_n-1+1（n≥2，n∈N*）．数列{b_n}满足b1=

3

4

，且3b_n-b_n-1=n（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等差数列；
（Ⅱ）求证：数列{b_n-a_n}为等比数列；
（Ⅲ）求数列{b_n}的通项公式以及前n项和T_n．

Answer 1

分析：本题考查等差等比数列的证明、a_n与s_n的关系的研究、求通项公式和求前n项和公式，
（Ⅰ）根据2S_n=2S_n-1+2a_n-1+1（n≥2，n∈N*）．可以获得an-an-1=

1

2

使问题得证．
（Ⅱ）根据所证，构造数列{b_n-a_n}，通过计算得

bn-an

bn-1-an-1

=

1

3

  (n≥2)，又b1-a1=

1

2

≠0，所以数列{b_n-a_n}为等比数列得证．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上可以得到数列{b_n-a_n}的通项公式，又根据（Ⅰ）数列{a_n}的通项公式可求，所以数列{b_n}可求，进而可以求得前n项和．

解答：（Ⅰ）证明：∵2S_n=2S_n-1+2a_n-1+1（n≥2，n∈N*），
∴当n≥2时，2a_n=2a_n-1+1，
可得an-an-1=

1

2

．
∴数列{a_n}为等差数列．（4分）
（Ⅱ）证明：∵{a_n}为等差数列，公差d=

1

2

，
∴an=a1+(n-1)×

1

2

=

1

2

n-

1

4

.（5分）
又3b_n-b_n-1=n（n≥2），
∴bn=

1

3

bn-1+

1

3

n(n≥2)，
∴bn-an=

1

3

bn-1+

1

3

n-

1

2

n+

1

4

=

1

3

bn-1-

1

6

n+

1

4

=

1

3

(bn-1-

1

2

n+

3

4

)
=

1

3

[bn-1-

1

2

(n-1)+

1

4

]
=

1

3

(bn-1-an-1).（8分）
又b1-a1=

1

2

≠0，
∴对n∈N*，b_n-a_n≠0，得

bn-an

bn-1-an-1

=

1

3

  (n≥2)．
∴数列{b_n-a_n}是首项为

1

2

公比为

1

3

等比数列．（9分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）得bn-an=

1

2

•(

1

3

)n-1，
∴b n=

n

2

-

1

4

+

1

2

•(

1

3

)n-1 (n∈N*)．（11分）
∵b1-a1+b2-a2++bn-an=

1 2 [1-( 1 3 )n]

1- 1 3

，
∴b1+b2++bn-(a1+a2++an)=

3

4

[1-(

1

3

)n]，
∴Tn-

n2

4

=

3

4

[1-(

1

3

)n]．
∴Tn=

n2

4

+

3

4

[1-(

1

3

)n]  (n∈N*)．（14分）

点评：本题综合性强，过程多，运算量大，解题过程需要思路清晰，运算准确，尤其是在（Ⅰ）、（Ⅱ）的证明中，不可忽视n=1的情况，必须将其作为过程中的一部分；
在（Ⅲ）的求数列{b_n}的前n项和时，尽管数列{b_n}的通项公式已求出，可以直接求其和，但需要拆项分组求和，较为繁琐，给出的解法以求出数列{b_n-a_n}、数列{a_n}的前n项和的基础上再求，显得运算简便，值得借鉴．