Question

已知两个不相等的实数a、b满足以下关系式：a²•sinθ+a•cosθ+c=0，b²•sinθ+b•cosθ+c=0，则连接A（a²，a）、B（b²，b）两点的直线被圆心在原点的单位圆所截得的弦长为

3

，则c=______．

Answer 1

由题知，实数a与b为一元二次方程x2•sinθ+x•cosθ-

π

4

=0的两个解，
所以a+b=-

cosθ

sinθ

，ab=-

c

sinθ

，
又A（a²，a）、B（b²，b），
所以直线AB的方程为：y-a=

b-a

b2-a2

（x-a²），化简得x-（a+b）y+ab=0，
∵弦长为

3

，圆的半径r=1，∴圆心到直线AB的距离d=

1-( 3 2 )2

=

1

2

，
即

|ab|

1+(a+b)2

=

| c sinθ |

1+( cosθ sinθ )2

=

1

2

，
解得：c=±

1

2

．
故答案为：±

1

2