Question

已知两个不相等的实数a、b满足以下关系式：a²•sinθ+a•cosθ+c=0，b²•sinθ+b•cosθ+c=0，则连接A（a²，a）、B（b²，b）两点的直线被圆心在原点的单位圆所截得的弦长为

3

，则c=

±

1

2

．

Answer 1

分析：根据实数a与b满足的两个关系式得到a与b是一个一元二次方程的两个解，利用根与系数的关系求出a+b和ab的值，利用A与B的坐标写出直线AB的方程，然后由弦长及单位圆的半径，利用垂径定理及勾股定理求出圆心到直线AB的距离，再利用点到直线的距离公式求出原点到直线AB的距离d，然d等于求出的距离列出关于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．

解答：解：由题知，实数a与b为一元二次方程x2•sinθ+x•cosθ-

π

4

=0的两个解，
所以a+b=-

cosθ

sinθ

，ab=-

c

sinθ

，
又A（a²，a）、B（b²，b），
所以直线AB的方程为：y-a=

b-a

b2-a2

（x-a²），化简得x-（a+b）y+ab=0，
∵弦长为

3

，圆的半径r=1，∴圆心到直线AB的距离d=

1-( 3 2 )2

=

1

2

，
即

|ab|

1+(a+b)2

=

| c sinθ |

1+( cosθ sinθ )2

=

1

2

，
解得：c=±

1

2

．
故答案为：±

1

2

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，勾股定理，直线的两点式方程，以及点到直线的距离公式，当直线与圆相交时，常常利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．