Question

设函数，，已知与有且仅有一个公共点．

(1)求m的值；

(2)对于函数，若存在a，b，使得关于的不等式对于定义域上的任意实数恒成立，求a的最小值以及对应的的解析式．

Answer 1

（1）令，即，

可得，设，

则，

令，得．

当时，，递增；当时，，递减．

考虑到时，，

时，；

时，．

考虑到，故，因此．………………………………4分

（2）由（1）知，．

，可知．      ………………………………6分

（ⅰ）由对恒成立，

即对恒成立，

所以，解得①．……………………8分

（ⅱ）由对恒成立，

即对恒成立，

设，，

则，令，得．

当时，，递增；当时，，递减．

故，

则须，即得②．

由①②得③．               ……………………10分

存在a，b，使得③成立的充要条件是：不等式④有解．

……………………12分

不等式④可化为，即，

令，则有，设，

则，

可知在上递增，上递减．

又，，，

所以在区间内存在一个零点，

故不等式的解为，即，得．

因此a的最小值为2，代入③得，故，

对应的的解析式为．        ………………………………16分