Question

（2005•海淀区二模）办公大楼共有15层，现每层（除13层外）派1人集中到第k层开会．当这14位参加会议的人员上、下楼梯所走路程的总和最少时，k的值为

7或8

．

Answer 1

分析：设相邻两层楼梯长为a，则问题转化为下列和式S的最小值的探求：S=S（k）=a[1+2+3+???+（k-1）]+a[1+2+???+（n-k ）]，分类讨论，即可得到结论．

解答：解：对于有n层的办公大楼，设相邻两层楼梯长为a，则问题转化为下列和式S的最小值的探求：
S=S（k）=a[1+2+3+???+（k-1）]+a[1+2+???+（n-k ）]=a[k²-（n+1）k+

1

2

（n²+n）]．
目标函数S（k）为k的二次函数，且a＞0，
故当n为奇数时，取k=

n+1

2

，S最小；当n为偶数时，取k=

n

2

或

n+2

2

，S最小．
在本题中，办公大楼共有15层，第13层除外，由于可以认为是n=14，故当n=7，或 n=8时，
这14位参加会议的人员上、下楼梯所走路程的总和最少，
故答案为 7或8．

点评：本题考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，正确建模是关键，属于中档题．