Question

△ABC的三边a、b、c和面积S满足关系式：S=c²-（a-b）²且a+b=2，求面积S的最大值．

Answer 1

分析：利用余弦定理及三角形的面积公式化简S=c²-（a-b）²后，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，然后根据a+b=2，利用基本不等式即可求出面积S的最大值．

解答：解：由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC及面积公式S=

1

2

absinC代入条件得
S=c²-（a-b）²=a²+b²-2abcosC-（a-b）²，即

1

2

absinC=2ab（1-cosC），
∴

1-cosC

sinC

=

1

4

，令1-cosC=k，sinC=4k（k＞0）
由（1-k）²+（4k）²=cos²C+sin²C=1，得k=

2

17

，
∴sinC=4k=

8

17

∵a＞0，b＞0，且a+b=2，
∴S=

1

2

absinC=

4

17

ab≤

4

17

•

(a+b)2

2

=

4

17

，当且仅当a=b=1时，S_max=

4

17

点评：此题考查学生灵活运用余弦定理及三角形的面积公式化简求值，灵活运用同角三角函数间的基本关系化简求值，会利用基本不等式求函数的最值，是一道中档题．