Question

如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求证：MN⊥CD；

(2)若∠PDA＝45°．求证：MN⊥平面PCD．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)连接AC，AN，BN， 　　∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点， 　　∴AN＝PC 　　∵PA⊥平面ABCD， 　　∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A， 　　∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB， 　　从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线， 　　∴BN＝PC 　　∴AN＝BN， 　　∴△ABN为等腰三角形， 　　又M为底边的中点，∴MN⊥AB， 　　又∵AB∥CD，∴MN⊥CD 　　(2)连接PM、CM，∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD 　　∵四边形ABCD为矩形． 　　∴AD＝BC，∴PA＝BC 　　又∵M为AB的中点，∴AM＝BM． 　　而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴PM＝CM． 　　又N为PC的中点，∴MN⊥PC 　　由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C， 　　∴MN⊥平面PC