Question

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长相等，点D是棱CC₁的中点，则AA₁与面ABD所成角的大小是

60°

．

Answer 1

分析：正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长相等，点D是棱CC₁的中点，设棱长为2，以ABC平面内AC顺时针旋转90°得到的直线为x轴，以AC为y轴，以AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AA₁与面ABD所成角的大小．

解答：解：正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱长相等，点D是棱CC₁的中点，
设棱长为2，以ABC平面内AC顺时针旋转90°得到的直线为x轴，以AC为y轴，以AA₁为z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（2sin30°，2sin60°，0）=（

3

，1，0），D（0，2，1），A₁（0，0，2），
∴

AA1

=（0，0，2），

AD

=（0，2，1），

AB

=（

3

，1，0），
设平面ABD的法向量为

n

=（x，y，z），
则

n

•

AD

=0，

n

•

AB

=0，
∴

2y+z=0 3 x+y=0

，解得

n

=（

3

，-3，6），
设AA₁与面ABD所成角为θ，
则sinθ=|cos＜

AA1

，

n

＞|=|

12

2× 3+9+36

|=

3

2

．
∴θ=60°．
故AA₁与面ABD所成角的大小是60°．
故答案为：60°．

点评：本题考查直线与平面所成角的大小的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．